Uma das matérias mais recorrentes (e fáceis) é a trindade “média, moda e mediana”.
Mas afinal, o que são esses caras?
Ora, imagine que você quer saber mais sobre a altura dos alunos do terceiro colegial. Com 80 informações cruas sobre a altura, você não vai tirar nenhuma conclusão. O ideal é centralizar estas informações em uma única altura que represente a turma toda!
Ou seja, MMM são formas de encontrar um representante para um conjunto de informações.
Média
A média é o valor estatístico mais básico de todos e o que você deve ter na ponta dos dedos.
É simples. Some tudo e divida pela quantidade de elementos.
Exemplo: Imagine que o senso fez uma pesquisa para ver qual a idade média de uma startup. Então temos as idades: 26, 18, 20, 21, 22, 20 e 25.
A idade média é
- a soma dos valores: 152
- dividido pela quantidade de funcionários: 7
- Média = 152/7 = 21,7 anos
Ou seja, calcular a média é uma questão de soma e divisão.
Vou te ensinar agora alguns truques para que você faça esse processo mais rapidamente.
Pegando os valores da nossa lista: 26, 18, 20, 21, 22, 20 e 25, tente “emprestar” números para encontrar valores fáceis de calcular. Outra estratégia é pegar valores que somam facilmente:
- 20 + 20 = 40
- 18 + 22 = 40
- Sobram 26, 21 e 25.
- Podemos pegar 1 emprestado do 26 e passar para o 21.
- Ficamos com 25, 25 e 22
- 25 + 25 = 50
- 40 + 40 + 50 = 130
- 130 + 22 = 152
Moda
A moda, como o nome diz, é o elemento que mais se repete.
Quando algo está na moda, é porque todo mundo está usando ou fazendo, não é? Lembre disso e vai ser fácil de resolver as questões.
No nosso exemplo: 26, 18, 20, 21, 22, 20 e 25; qual número que mais se repete?
É o 20, o único que tem duas repetições.
Conclusão: a única dificuldade da moda é tomar cuidado para não se confundir.
É possível ter mais que uma moda.
Mediana
Por fim (ou quase), a mediana é o valor central da nossa amostra.
Sei que muitas pessoas ficam em dúvida sobre “preciso ordenar ou não?”, mas isso é uma questão de raciocínio mínimo, então deixo a tarefa de refletir sobre esse tema com você.
No nosso caso: 26, 18, 20, 21, 22, 20 e 25, o elemento mediano é o 21.
Sempre que temos uma quantidade ímpar, teremos um único elemento médio. Ex: com 7 amostras, temos 3 + 1 + 3.
Mas e quando tivermos um número par? Qual a mediana de 18, 20, 22, 25?
Nesse caso, pegamos os dois elementos do meio: 20 e 22 e calculamos a sua média. (20 + 22)/2 = 21.
Diferenças entre Média, Moda e Mediana
Mas afinal, qual a diferença entre Média, Moda e Mediana? Por que usar um e não o outro?
Este é um conhecimento teórico que é importante você ter e que pode ser cobrado na prova.
Antes que eu entregue o jogo, peço que você tente descobrir isso sozinho por alguns segundos.
Pensou? Okay então vamos lá.
A moda sempre vai nos dar um valor que existe na nossa amostra. Por exemplo, é ótimo para saber qual o número de calçado mais vendido de uma loja!
Se fizesse a média dos números de calçados vendidos, teria um valor como 38,6… algo que não existe de verdade.
Também precisamos entender que nem sempre a moda vai ser um bom representante, caso as amostras estejam mal distribuídas. Imagine o caso: 1,1,1,2,5,10,15,18,20, 50, 60,70, 80, 100.
Obviamente o número 1 não representa esses números, ainda que ele tenha se repetido mais.
Já quando falamos de média vs mediana, temos também que considerar a distribuição dos valores. A média considera todos os valores da amostra, enquanto que a mediana só considera 1 ou 2 valores (que estão no meio).
Nem sempre uma situação nos dá valores medianos interessantes.
Imagine as notas dessa turma: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10.
A mediana dessas notas é 9, o que faz parecer que toda a turma foi bem na prova, quando na verdade temos 6 alunos que foram muito mal.
Se calculasse a média, teríamos média 6, que é um representante mais justo nesse caso.
Média Ponderada
Os exercícios mais complexos de Média vão trazer algo chamado de Média Ponderada.
Aqui, consideramos pesos para os valores da amostra, onde alguns casos vão valer mais que os outros.
Existem diversos tipos de Média Ponderada: por peso, por repetição ou por porcentagem.
Média Por Pesos
Essa média é muito frequente em exercícios de notas e provas.
Exemplo: Considere que o bimestre tem 3 provas.
- A prova 1 possui peso 1
- A prova 2 peso 2
- A prova 3 peso 3.
Um aluno tirou, respectivamente as seguintes notas: 3, 6 e 8. Calcule a média do bimestre.
Resolução:
Quando falamos de pesos, é como se a nota daquela prova se repetisse N vezes.
Com isso, cada uma das provas corresponde aos seguintes valores:
- Prova 1: 3
- Prova 2: 6 + 6 ou 2×6
- Prova 3: 8 + 8 +8 ou 3×8
- Total: 3 + 12 + 24 = 39
Na média normal, dividiríamos tudo por 3, já que são 3 provas, certo?
Mas perceba que 39/3 = 13, que é uma nota impossível e nem faz sentido.
Isso acontece porque precisamos considerar que os pesos significam provas a mais!
Ou seja, veja quantas notas de prova temos: 3 + 6 + 6 + 8 + 8 +8 = 6 notas de prova.
Também podemos ver a quantidade de provas pela soma dos pesos: 1 + 2 + 3 = 6.
Então a média ponderada é calculada por 39/6 = 6,5
Média por Quantidade
A média por quantidade é parecida com a média por pesos. Imagine o seguinte.
Exemplo: Foi calculado a estatística de quantidade de gols por partidas em um campeonato:
- 3 partidas = 0 gols
- 5 partidas = 1 gol
- 3 partidas = 2 gols
- 2 partidas = 3 gols
- 1 partida = 4 gols
Calcule a média de gols por partida do campeonato.
Resolução
Aqui temos algo parecido com a média por pesos. Se for pensar, tudo não passa de uma multiplicação dos valores.
Como queremos calcular a média de GOLS (e não de partidas), precisamos considerar o seguinte:
- 1 gol x 5 partidas = 5 gols
- 2 gols x 3 partidas = 6 gols
- 3 gols x 2 partidas = 6 gols
- 4 gols x 1 partida = 4 gols
- Total Gols: 21 gols
Um cálculo super simples e intuitivo, já que queremos calcular a QUANTIDADE TOTAL DE GOLS.
Com essa quantidade, vamos dividir pela QUANTIDADE TOTAL DE JOGOS, pois queremos saber a média de GOLS POR PARTIDA. Perceba que a resolução está na própria palavra: Gols/Partida.
21 gols / 14 partidas = 3/2 = 1,5 gol por partida.
Média por Porcentagem
A média por porcentagem acontece quando temos porcentagens no lugar de pesos. Com isso podemos encontrar um valor de média que funcione de forma proporcional independente das quantidades.
Exemplo:
Foi feito uma pesquisa em uma cidade para ver quantos animais de estimação cada família possui:
- 20% das pessoas = 0 animais
- 50% das pessoas = 1 animal
- 20% das pessoas = 2 animais
- 10% das pessoas = 3 animais
Calcule a média de animais das pessoas desta cidade.
Resolução:
Um truque para lidar com porcentagens é que tanto faz a quantidade de pessoas na nossa cidade. A porcentagem cria justamente uma distribuição PROPORCIONAL. Podemos então utilizar 100 pessoas ou 10 pessoas no nosso caso.
- 20 pessoas x 0 animais = 0
- 50 pessoas x 1 animal = 50
- 20 pessoas x 2 animais = 40
- 10 pessoas x 3 animais = 30
- Total: 120 animais
120 animais / 100 pessoas = 1,2 animais por pessoa.
Perceba que daria certo com 10 pessoas na cidade ou qualquer outro valor. Recomendo utilizar 10 ou 100 para facilitar a sua vida:
- 2 pessoas x 0 animais = 0
- 5 pessoas x 1 animal = 5
- 2 pessoas x 2 animais = 4
- 1 pessoa x 3 animais = 3
- Total: 12 animais
- 12/10 = 1,2 animais por pessoa
Por que Média ponderada?
A média ponderada muitas vezes acontece de forma natural. É uma média normal, onde temos uma repetição de valores (como nos casos dos animais e dos gols).
Em outros casos, como nas notas, é interessante aplicar pesos, pois eles indicam o que é esperado do aluno. Na primeira prova, o aluno pode ir mal, mas ele precisa evoluir durante o bimestre e demonstrar que se esforçou para melhorar a nota.
Como a última prova possui conteúdos mais difíceis e que, talvez, até incluam os assuntos da primeira prova, faz sentido que ela tenha um peso muito maior.
A média é um recurso que vamos utilizar para toda a vida.
Quando você for em um bar e tiver que dividir a conta, você pode utilizar a média.
Quando quiser saber seus ganhos ou despesas durante o ano, você vai usar a média.
Então é esperado que qualquer pessoa tenha o mínimo de capacidade para calcular esse tipo de valor durante a vida, mesmo que você não seja de exatas.